Category Archives: matematika

Cara Belajar Matematika yang Asyik dengan APiQ

Bagaimana cara menghitung akar yang cepat dan mudah?

Banyak anak-anak kesulitan untuk menghitung nilai akar kuadrat. Bahkan bapak ibu guru juga kesulitan cara mengajarkan kepada siswa-siswa. Untungnya Paman APiQ sudah menyediakan cara berhitung cepat akar kuadrat yang mudah dan ce[at untuk Anda. Silakan…!



Bagaimana menurut Anda?

Advertisements

Ada Berapa Cara untuk Naik Mobil?

Matematika memang aneh bukan?

Mau naik mobil saja harus berhitung dulu. Bukankah naik mobil tinggal naik saja?

Meski tampak aneh tetapi banyak manfaat dari matematika menghitung banyak cara naik mobil. Bagaimana petualangan cara naik mobil? Silakan bergabung dengan video Paman APIQ berikut ini. (Perhitungan ini mendasari konsep permutasi kombinasi yang penting dalam matematika khususnya olimpiade matematika).

Bila ada 4 orang mau naik mobil ada berapa cara?

Hanya 2 orang yang mampu mengemudi, bagai mana caranya?

Bagaimana bila ada 6 orang?

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Deret Teleskopik Dari yang Mudah dan Asyik

Deret teleskopik mestinya sangat mengagumkan. Tetapi yang sering terjadi, melihat rumusnya saja anak-anak sudah buru-buru takut. Mengapa?

Rumus deret teleskopik sering menggunakan notasi matematika tingkat tinggi.

Sekarang mari berpetualang dengan deret teleskopik yang mudah dan asyik bersama Paman APIQ. Pertama kita kenalan dulu dengan apakah gerangan deret teleskopik? Adalah deret yang suku-sukunya dapat saling menghilangkan sehingga hanya ditentukan oleh suku pertama dan terakhir.

Contoh paling sering digunakan adalah

1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + … … … + 1/(2014.2015) = … … …

Menghitung satu demi satu jelas bukan ide yang bagus. Mencoba dengan mengenali pola akan cukup memudahkan.

1/(1.2) = 1/2
1/(1.2) + 1/(2.3) = 2/3
1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) = 3/4

Anda dapat melihat polanya?
Ya, dengan mudah kita dapat menjawab soal di atas adalah…

1/(1.2) + … … … + 1/(2014.2015) = 2014/2015

Pertanyaannya mengapa pola di atas dapat berlaku?
Karena deret di atas adalah teleskopik sehingga suku-suku bagian tengah saling menghilangkan. Kita juga dapat membuktikan kebenaran pola di atas dengan induksi matematika.

A. Deret Bilangan Asli sebagai Deret Teleskopik

Barangkali contoh paling mudah adalah kita menggunakan deret bilangan asli yang merupaka deret aritmetika menjadi deret teleskopik.

S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 … … … + n

Di mana suku ke-n

Un = n = [n(n + 1) – (n – 1)n]/2

Bentuk paling kanan adalah bentuk teleskopik di mana suku-sukunya dapat saling menghilangkan.

U1 = [1.2 – 0.1]/2 = 1
U2 = [2.3 – 1.2]/2 = 2
U3 = [3.4 – 2.3]/2 = 3

Kita lihat pada U2 terdapat unsur 1.2 yang dapat mencoret 1.2 pada U1. Sedangkan pada U3 terdapat 2.3 yang dapat mencoret 2.3 pada U2.

Jika kita melanjutkan semua suku maka bagian tengah dari suku-suku akan saling mencoret dan habis. Yang tersisa hanya bagian awal dari suku pertama yaitu

0.1/2 = 0

dan bagian akhir dari suku terakhir adalah

n.(n + 1)/2

Sehingga kita peroleh

S(n) = n(n + 1)/2 – 0 = n(n +1)/2 (Selesai).

B. Deret Hasil Kali Menjadi Kuadrat Bilangan Asli

Mari berlanjut pada tantangan lebih asyik lagi,

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … … … n(n + 1) = … … …

Un = n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)(n)(n + 1)]/3

Apakah pernyataan di atas benar?
Untuk memudahkan menguji kebenarannya adalah keluarkan n(n + 1) nya.

= n(n + 1) [(n + 2) – (n – 1)]/3
= n(n + 1) [3]/3 (Terbukti).

Mari kita cek beberapa Un,

U1 = [1.2.3 – 0.1.2]/3 = 2
U2 = [2.3.4 – 1.2.3]/3 = 6
U3 = [3.4.5 – 2.3.4]/3 = 12

Dapat kita lihat, dengan penjumlahan maka suku-suku di tengah akan saling menghilangkan. Yang tersisa adalah bagian suku pertama,

[- 0.1.2]/3 = 0

dan bagian dari suku terakhir adalah,

[n(n + 1)(n + 2)]/3

Maka

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … … … + n(n+1) = [n(n + 1)(n + 2)]/3

Dari rumus di atas kita dapat menentukan rumus jumlah deret kuadrat bilangan asli. Dengan notasi yang longgar kita dapat menyusun,

S(n(n + 1)) = [n(n + 1)(n + 2)]/3

S(n^2) + S(n) = [n(n + 1)(n + 2)]/3

S(n^2) = [n(n + 1)(n + 2)]/3 – S(n)

= [n(n + 1)(n + 2)]/3 – n(n + 1)/2

= 1/6 n(n + 1) [2(n + 2) – 1.3]

= 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

Jadi kita peroleh,

1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + … … … n^2 = 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

C. Deret Jumlah Bilangan Kubik

Barangkali kita menduga deret bilangan kubik tentu lebih rumit. Tetapi deret bilangan kubik ternyata justru lebih sederhana. Bahkan kita dapat menemukan jumlah deret bilangan kubik dengan gambar-gambar geometri yang mudah.

S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … … … + n^3 = [n(n + 1)/2]^2

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger |agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Deret Matematika yang Asyik Silakan Coba

Dapatkah Anda membayangkan jumlah dari seluruh bilangan bulat dari 1 sampai dengan 2000?

Menjumlahkan sebanyak 2000 bilangan?

Bisa sih, bisa…tapi berapa lama waktu yang dibutuhkan?

Anda dapat dengan mudah menjumlahkan itu semua. Ikuti cara Paman APIQ maka dengan cepat Anda dapat menjumlah semua bilangan di atas. Caranya adalah pasangkan bilangan pertama dengan terakhir.

1 + 2000 = 2001
2 + 1999 = 2001
3 + 1998 = 2001

Jadi jumlah semua = 2001 x 1000 = 2.001.000 (Selesai).

Baik, tentu kita dapat latihan dengan beragam variasi bilangan. Bersiaplah…!

1 + 2 + 3 + … … … + 20 = …
1 + 2 + 3 + … … … + 200 = …
1 + 2 + 3 + … … … + 400 = …

(Jawaban: 210, 20100, 80200)

Berikut Paman APIQ akan mencatat beberapa rumus deret yang menarik. Anda dapat mencatatnya juga barangkali sewaktu-waktu membutuhkannya.

A. Jumlah deret bilangan asli

S(n) = 1 + 2 + 3 + … … … + n = n(n+1)/2

n(n + 1) = 2 S(n)

B. Jumlah deret kubik bilangan asli

S(n^3) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … … … + n^3 = 1/4 (n(n+1))^2

[ n(n+1) ]^2 = 4 S(n^3)

C. Jumlah deret kuadrat bilangan

S(n.(n+1)) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … … … n.(n+1) = 1/3 (n.(n+1)(n+2))

n(n+1)(n+2) = 3 (S(n.(n+1))

Sedangkan S(n^2) dapat kita turunkan dari persamaan di atas.

S(n^2) + S(n) = 1/3 (n.(n+1)(n+2))

S(n^2) = 1/6 (n.(n+1)(2n+1))

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Belajar Trigonometri yang Asyik, Bagaimana Caranya?

Caranya?

Coba ikuti saran Paman APIQ maka belajar trigonometri jadi asyik dan kreatif. Sederhana sekali. Mari berpetualang…!

Konsep dasar trigonometri dengan contoh yang asyik.

Lebih paham lagi dengan cara praktis.

Alat peraga trigonometri dapat Anda bawa kemana-mana: Trigonometri.

Aturan sinus dan cosinus lebih mudah lagi dengan contoh menarik.

Penerapan trigonometri lebih mantap lagi.

Salam hangat…

Mengapa Game Bermakna 1 Juta Kata? Gambar Seribu Kata?

Satu gambar bermakna seribu kata!

Kita sudah sering mendengar ungkapan itu. Tapi pernahkan Anda mendengar,

“Game bermakna 1 juta kata?”

Maka banyak anak ketagihan main game terus-menerus. Kebanyakan game bersifat negatif. Tetapi Paman APIQ menciptakan game matematika yang asyik. Tentu saja edukatif. Makin sering anak-anak memainkannya maka anak tersebut makin pinter matematika.

Kemarin Paman APIQ kagum karena Meti kecil yang masih TK tiba-tiba bisa main sulap matematika. Padahal perlu melakukan berhitung cepat untuk memainkan game sulap itu.

Kecil2 Jago Matematika

Awalnya, Meti kecil, masih perlu waktu untuk memproses perhitungan dalam game APIQ itu. Setelah mencoba beberapa kali, Meti kecil, langsung dapat berhitung cepat. Luar biasa!

Bagaimana dengan anak-anak Anda?
Apakah dapat berhitung cepat?
Apakah kecil-kecil sudah jago matematika?

Mengapa tidak?

Tentu saja anak Anda dapat jadi jago matematika. Anda tinggal memanfaatkan game matematika yang sudah disediakan oleh APIQ. Maka anak-anak Anda akan ketagihan game matematika. Selamat jadi kecil-kecil jago matematika.

Bagaimana cara mendapatkan game matematika APIQ?

Silakan pesan melalui email: quantumyes@yahoo.com

Sukses selalu untuk Anda!