Tag Archives: deret telescoping

Deret Teleskopik Dari yang Mudah dan Asyik

Deret teleskopik mestinya sangat mengagumkan. Tetapi yang sering terjadi, melihat rumusnya saja anak-anak sudah buru-buru takut. Mengapa?

Rumus deret teleskopik sering menggunakan notasi matematika tingkat tinggi.

Sekarang mari berpetualang dengan deret teleskopik yang mudah dan asyik bersama Paman APIQ. Pertama kita kenalan dulu dengan apakah gerangan deret teleskopik? Adalah deret yang suku-sukunya dapat saling menghilangkan sehingga hanya ditentukan oleh suku pertama dan terakhir.

Contoh paling sering digunakan adalah

1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + … … … + 1/(2014.2015) = … … …

Menghitung satu demi satu jelas bukan ide yang bagus. Mencoba dengan mengenali pola akan cukup memudahkan.

1/(1.2) = 1/2
1/(1.2) + 1/(2.3) = 2/3
1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) = 3/4

Anda dapat melihat polanya?
Ya, dengan mudah kita dapat menjawab soal di atas adalah…

1/(1.2) + … … … + 1/(2014.2015) = 2014/2015

Pertanyaannya mengapa pola di atas dapat berlaku?
Karena deret di atas adalah teleskopik sehingga suku-suku bagian tengah saling menghilangkan. Kita juga dapat membuktikan kebenaran pola di atas dengan induksi matematika.

A. Deret Bilangan Asli sebagai Deret Teleskopik

Barangkali contoh paling mudah adalah kita menggunakan deret bilangan asli yang merupaka deret aritmetika menjadi deret teleskopik.

S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 … … … + n

Di mana suku ke-n

Un = n = [n(n + 1) – (n – 1)n]/2

Bentuk paling kanan adalah bentuk teleskopik di mana suku-sukunya dapat saling menghilangkan.

U1 = [1.2 – 0.1]/2 = 1
U2 = [2.3 – 1.2]/2 = 2
U3 = [3.4 – 2.3]/2 = 3

Kita lihat pada U2 terdapat unsur 1.2 yang dapat mencoret 1.2 pada U1. Sedangkan pada U3 terdapat 2.3 yang dapat mencoret 2.3 pada U2.

Jika kita melanjutkan semua suku maka bagian tengah dari suku-suku akan saling mencoret dan habis. Yang tersisa hanya bagian awal dari suku pertama yaitu

0.1/2 = 0

dan bagian akhir dari suku terakhir adalah

n.(n + 1)/2

Sehingga kita peroleh

S(n) = n(n + 1)/2 – 0 = n(n +1)/2 (Selesai).

B. Deret Hasil Kali Menjadi Kuadrat Bilangan Asli

Mari berlanjut pada tantangan lebih asyik lagi,

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … … … n(n + 1) = … … …

Un = n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)(n)(n + 1)]/3

Apakah pernyataan di atas benar?
Untuk memudahkan menguji kebenarannya adalah keluarkan n(n + 1) nya.

= n(n + 1) [(n + 2) – (n – 1)]/3
= n(n + 1) [3]/3 (Terbukti).

Mari kita cek beberapa Un,

U1 = [1.2.3 – 0.1.2]/3 = 2
U2 = [2.3.4 – 1.2.3]/3 = 6
U3 = [3.4.5 – 2.3.4]/3 = 12

Dapat kita lihat, dengan penjumlahan maka suku-suku di tengah akan saling menghilangkan. Yang tersisa adalah bagian suku pertama,

[- 0.1.2]/3 = 0

dan bagian dari suku terakhir adalah,

[n(n + 1)(n + 2)]/3

Maka

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … … … + n(n+1) = [n(n + 1)(n + 2)]/3

Dari rumus di atas kita dapat menentukan rumus jumlah deret kuadrat bilangan asli. Dengan notasi yang longgar kita dapat menyusun,

S(n(n + 1)) = [n(n + 1)(n + 2)]/3

S(n^2) + S(n) = [n(n + 1)(n + 2)]/3

S(n^2) = [n(n + 1)(n + 2)]/3 – S(n)

= [n(n + 1)(n + 2)]/3 – n(n + 1)/2

= 1/6 n(n + 1) [2(n + 2) – 1.3]

= 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

Jadi kita peroleh,

1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + … … … n^2 = 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

C. Deret Jumlah Bilangan Kubik

Barangkali kita menduga deret bilangan kubik tentu lebih rumit. Tetapi deret bilangan kubik ternyata justru lebih sederhana. Bahkan kita dapat menemukan jumlah deret bilangan kubik dengan gambar-gambar geometri yang mudah.

S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … … … + n^3 = [n(n + 1)/2]^2

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger |agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Advertisements